第2章 逻辑电路入门

距离上次更新已经 1680 天了，文章内容可能已经过时。

最近开始补充数字逻辑相关知识，选择的教材为《数字逻辑基础与Verilog设计》。

教材评价：

https://book.douban.com/subject/2308122/

下载地址：

http://m.wdfxw.net/Fulltext44364042.htm

后续会定期回顾重点章节，这次回顾第2章：逻辑门和逻辑网络。

逻辑门和逻辑网络

逻辑门

常用逻辑门：

逻辑网络的分析

两个基本问题

• 分析：对已存在的逻辑网络，确认所实现的逻辑功能。
• 综合：设计一个新的网络，使该网络实现所要求的逻辑功能。

分析案例

实现逻辑函数

$$f={\overline{x}}_1+x_1\cdot x_2$$

实现网络

真值表

时序图

简化网络

注意有如下关系

$${\overline{x}}_1+x_1\cdot x_2={\overline{x}}_1+x_2$$

于是得到如下简化的网络

布尔代数

布尔代数公理

1a. $0\cdot 0=0$
1b. $1+1=1$
2a. $1\cdot 1=1$
2b. $0+0=0$
3a. $0\cdot 1=1\cdot 0=0$
3b. $1+0=0+1=1$
4a. 若 $x=0,$ 则 $\overline{x}=1$
4b. 若 $x=1,$ 则 $\overline{x}=0$

单变量定理

5a. $x\cdot 0=0$
5b. $x+1=1$
6a. $x\cdot 1=x$
6b. $x+0=x$
7a. $x\cdot x=x$
7b. $x+x=x$
8a. $x\cdot \overline{x}=0$
8b. $x+\overline{x}=1$
9.$\bar{\overline{x}}=x$

对偶性

对偶表达式：对于一个逻辑表达式，将所有$”+”$操作符替换为$”.”$，将$”.”$操作符替换为$”+”$；将所有$0$替换为$1$，将所有$1$替换为$0$。

二变量和三变量性质

10a.$x\cdot y=y\cdot x$
10b.$x+y=y+x$
11a.$x\cdot (y\cdot z)=(x\cdot y)\cdot z$
11b.$x+(y+z)=(x+y)+z$
12a.$x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z$
12b.$x+y\cdot z=(x+y)\cdot (x+z)$
13a.$x+x\cdot y=x$
13b.$x\cdot (x+y)=x$
14a.$x\cdot y+x\cdot \overline{y}=x$
14b.$(x+y)\cdot (x+\overline{y})=x$
15a.$\overline{x\cdot y}=\overline{x}+\overline{y}$
15b.$\overline{x+y}=\overline{x}\cdot \overline{y}$
16a.$x+\overline{x}\cdot y=x+y$
16b.$x\cdot (\overline{x}+y)=x\cdot y$
17a.$x\cdot y+y\cdot z+\overline{x}\cdot z=x\cdot y+\overline{x}\cdot z$
17b.$(x+y)\cdot (y+z)\cdot (\overline{x}+z)=(x+y)\cdot (\overline{x}+z)$

用与门、或门和非门进行综合

最小项

假设函数有$n$个变量，如果一个乘积项中包含全部$n$个变量，则称其为最小项，例如${\overline{x}}_1{\overline{x}}_2{\overline{x}}_3$（$n=3$）。

最大项

最小项的反：

积之和(SOP)

每个逻辑函数$f$可以用最小项之和表示，其中每个最小项是输入变量的相应取值和函数$f$值的逻辑与。考虑逻辑函数：

那么

$$f(x_1,x_2,x_3)={\overline{x}}_1{\overline{x}}_2{x}_3+x_1{\overline{x}}_2{\overline{x}}_3+x_1{\overline{x}}_2{x}_3+x_1{x}_2{\overline{x}}_3$$

化简可得

$$\begin{array}{rl}f(x_1,x_2,x_3)& =({\overline{x}}_1+x_1){\overline{x}}_2{x}_3+x_1({\overline{x}}_2+x_2){\overline{x}}_3\\ & =1\cdot {\overline{x}}_2{x}_3+x_1\cdot 1\cdot {\overline{x}}_3\\ & ={\overline{x}}_2{x}_3+x_1{\overline{x}}_3\end{array}$$

和之积

首先将$\overline{f}$表示为积之和的形式，然后取反得到和之积的形式，依然考虑之前的真值表：

那么

$$\begin{array}{rl}\overline{f}(x_1,x_2,x_3)& =m_0+m_2+m_3+m_7\\ & ={\overline{x}}_1{\overline{x}}_2{\overline{x}}_3+{\overline{x}}_1{x}_2{\overline{x}}_3+{\overline{x}}_1{x}_2{x}_3+x_1{x}_2{x}_3\end{array}$$

取反可得

$$\begin{array}{rl}f& =\overline{m_0+m_2+m_3+m_7}\\ & ={\overline{m}}_0\cdot {\overline{m}}_2\cdot {\overline{m}}_3\cdot {\overline{m}}_7\\ & =M_0\cdot M_2\cdot M_3\cdot M_7\\ & =(x_1+x_2+x_3)(x_1+{\overline{x}}_2+x_3)(x_1+{\overline{x}}_2+{\overline{x}}_3)({\overline{x}}_1+{\overline{x}}_2+{\overline{x}}_3)\end{array}$$

与非以及或非逻辑网络

与非门

或非门

等价形式

注意与非和或非可以实现非，与，或逻辑，所以可以作为通用的逻辑门。